Münchhausen の trilemma の形式的定式化と證明 - c4se記：さっちゃんですよ☆

非形式的な主張 根據關係は循環論法・無限後退・無根據な斷定の三つの少なくとも一つの形を取る。

有向 graph $G:=(V,E,←)$ を考へる。 $V$ は頂點 (vertex) の集合、 $E=\{a←b|a,b\in V\}$ は邊 (edge) の集合、寫像 $←:E\to V\times V,a←b\mapsto(a,b)$ は頂點と邊の關係である。 $a←b$ を「事 $b$ は事 $a$ に基附く」と讀む (「事」や「基附く」の意味は適當に解釋すればよい)。

定義 (循環論法) $G$ が可算長かもしれない閉道 (cycle) $a_0←\dots←a_1←a_0$ を持つならば、 $G$ は循環論法を持つと言ふ。

定義 (無限後退) $G$ が可算長の道 (path) $a_\omega←\dots←a_1←a_0$ を持つならば、 $G$ は無限後退を持つと言ふ。

定義 (無根據な斷定) $G$ が沈點 (sink) を持つ $∃b _ {\in V}(\neg ∃a _ {\in V}(a←b))$ ならば、 $G$ は無根據な斷定を持つと言ふ。

定理 $G$ は循環論法・無限後退・無根據な斷定のいずれかを必ず持つ。

證明 $G$ が有限な graph の場合と可算な graph の場合とに分ける。

$G$ が有限な graph の場合、可算長の道は無い。また沈點が在れば無根據な斷定を持つ。よって沈點が無い場合に閉道が在る事を示せばよい。沈點が存在しないならば、全ての頂點の出次數は 1 以上である。 $V$ の要素數を $n$ とする。適當な頂點 $v_0$ を選ぶ。 $v_0$ の出次數は 1 以上である爲、隣接する頂點を適當に選んで歩道 (walk) $v_1←v_0$ を構成できる。 $v_1$ 以降からも同樣に歩道を構成し、 $\dots←v_1←v_0$ とできる。これには切りがない。歩道の長さを $n+1$ 迄延ばす $v_n←\dots←v_0$ 。この歩道には頂點が $n+1$ 囘表れる。 $G$ には頂點が $n$ 個しかない爲、鳩の巢原理よりこの歩道は少なくとも同じ頂點を 2 つ含む。これは閉道の存在を意味し、循環論法が存在する。

$G$ が可算な graph の場合を示す。沈點が在れば無根據な斷定を持つから、沈點が無い場合に閉道もしくは可算長の道を持つ事を示せばよい。沈點が存在しないならば、任意の要素 $b$ に對して集合 $\{a|a←b\}$ は空集合ではない。可算選擇公理により、選擇函數 $f:V\to V,f(b)\in\{a|a←b\}$ が存在し、任意の頂點 $v_0$ から歩道を再歸的に $v _ {n+1}=f(v_n),n\in{\Bbb N}$ と定義できる。或る $i,j\in{\Bbb N}$ , $i\lt j$ に於いて $v_i=v_j$ であれば、歩道 $v_j←\dots←v_i$ は閉道であり、循環論法を持つ。その樣な $i,j$ が存在しない $v_{n+1}\notin\{v_n,\dots,v_0\}$ ならば、歩道 $\dots←v_0$ は無限列であり、無限後退を持つ。□