みにくいアヒルの子定理 (ugly duckling theorem) の數理的主張

定理比較する對象の全體を $U$ とし、 $|U|=n$ とする。 $U$ の要素に就いての述語 $\varphi$ は $U$ の部分集合 $\{x|x\in U,\varphi(x)\}\subseteq U$ に對應する。これを同一視 $\varphi\cong\{x|x\in U,\varphi(x)\}$ , $\varphi(x)\iff x\in\varphi$ しよう。可能な述語の總數は|2^U|=2ⁿである。この時任意の異なる $U$ の要素 $x,y$ が共有する述語の個數 $|\{\varphi|\varphi\subseteq U,x\in\varphi\land y\in\varphi\}|$ は要素の選び方に依らず $\sum_{r=2}^n\begin{pmatrix}n-2\\r-2\end{pmatrix}=2^{n-2}$ 個である。故に共有する述語の個數によっては $U$ を分類できない。

更に形式的に述べれば、

定理要素が $n _ {\ge 2}$ 個の有限集合 $U$ の任意の異なる要素 $x,y$ が屬する $U$ の部分集合の個數は等しく $2^{n-2}$ 個である $\forall x,y_{\in U}(x\ne y\supset |\{\varphi|\varphi\subseteq U,x\in\varphi\land y\in\varphi\}|=2^{n-2})$ 。