c4se記:さっちゃんですよ☆

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圈論初級の monoid っぽいの達を纏めた

登場人物は

  • monoid
  • monoid の圈
  • monoidal 圈
  • monoid 對象の圈
  • monad

である。

TL;DR

  • monoid は集合上の結合律と單位律とを滿たす演算である
  • monoid の圈 は monoid と monoid 準同型との成す圈である
  • monoidal 圈 は對象の間に自然同型の違ひを除いて monoid の樣な關係の成り立つ圈である
  • monoid 對象 は monoidal 圈に於いて自身と monoid の樣な關係を再現する對象である。monoid 對象の圈 は monoidal 圈の中で monoid 對象全體の成す圈である
  • monad は monoid の樣な性質を持つ自己函手である

全て異なる概念だが、深く關係してゐる。

  • monoid は對象が * の一つだけである圈 \bf C の射集合 {\bf C}(*,*) である
  • monoid と嚴密 monoidal 圈とは餘分な射を除いて同一視出來る
  • monoid は集合と寫像の圈 \bf Set を直積で monoidal 圈としたものの monoid 對象である
  • 前項に依り、monoidal 圈 \bf Set の monoid 對象の圈は monoid の圈である
  • 嚴密 monoidal 圈は (小さな) 圈と函手の圈 \bf Cat を積で monoidal 圈としたものの monoid 對象である。monoid と \bf Set との關係は、嚴密 monoidal 圈と \bf Cat との關係に相似である
  • monoidal 圈は 0-胞が * の一つだけである双圈 \bf B の 1-胞を對象とする圈 {\bf B}(*,*) である。monoidal 圈と双圈との關係は、monoid と圈との關係に相似である
  • monad は自己函手の圈の monoid 對象である

圈としての monoid、monoid の圈、monoidal 圈、monoid 對象の圈

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