c4se記：さっちゃんですよ☆

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圈論初級の monoid っぽいの達を纏めた

考察

登場人物は

monoid
monoid の圈
monoidal 圈
monoid 對象の圈
monad

である。

TL;DR

monoid は集合上の結合律と單位律とを滿たす演算である
monoid の圈 は monoid と monoid 準同型との成す圈である
monoidal 圈 は對象の間に自然同型の違ひを除いて monoid の樣な關係の成り立つ圈である
monoid 對象 は monoidal 圈に於いて自身と monoid の樣な關係を再現する對象である。monoid 對象の圈 は monoidal 圈の中で monoid 對象全體の成す圈である
monad は monoid の樣な性質を持つ自己函手である

全て異なる概念だが、深く關係してゐる。

monoid は對象が $*$ の一つだけである圈 $\bf C$ の射集合 ${\bf C}(*,*)$ である
monoid と嚴密 monoidal 圈とは餘分な射を除いて同一視出來る
monoid は集合と寫像の圈 $\bf Set$ を直積で monoidal 圈としたものの monoid 對象である
前項に依り、monoidal 圈 $\bf Set$ の monoid 對象の圈は monoid の圈である
嚴密 monoidal 圈は (小さな) 圈と函手の圈 $\bf Cat$ を積で monoidal 圈としたものの monoid 對象である。monoid と $\bf Set$ との關係は、嚴密 monoidal 圈と $\bf Cat$ との關係に相似である
monoidal 圈は 0-胞が $*$ の一つだけである双圈 $\bf B$ の 1-胞を對象とする圈 ${\bf B}(*,*)$ である。monoidal 圈と双圈との關係は、monoid と圈との關係に相似である
monad は自己函手の圈の monoid 對象である

圈としての monoid、monoid の圈、monoidal 圈、monoid 對象の圈